数值分析与算法设计--拉格朗日线性插值

拉格朗日线性插值

公式

当只有两个数据点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$ 时，拉格朗日插值多项式为一次多项式（直线）：
$$
P_1(x) = y_0 \cdot \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} + y_1 \cdot \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}
$$
这等价于两点式直线方程。

题目

已知：

• $x_0 = 100,\ y_0 = \sqrt{100} = 10$
• $x_1 = 121,\ y_1 = \sqrt{121} = 11$
• 要求：$x = 115$ 时的 $y \approx P_1(115)$

解答

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代入公式：

$$
P_1(115) = 10 \cdot \frac{115 - 121}{100 - 121} + 11 \cdot \frac{115 - 100}{121 - 100}
$$

计算各部分：

• $115 - 121 = -6$
• $100 - 121 = -21$
• $115 - 100 = 15$
• $121 - 100 = 21$

所以：

$$
P_1(115) = 10 \cdot \frac{-6}{-21} + 11 \cdot \frac{15}{21}
= 10 \cdot \frac{6}{21} + 11 \cdot \frac{15}{21}
$$

化简分数：

• $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$
• $\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$

因此：

$$
P_1(115) = 10 \cdot \frac{2}{7} + 11 \cdot \frac{5}{7}
= \frac{20}{7} + \frac{55}{7}
= \frac{75}{7}
\approx 10.7142857
$$

与真实值比较

真实值：
$$
\sqrt{115} \approx 10.7238053
$$

插值结果：
$$
P_1(115) \approx 10.7143
$$

误差 ≈ $10.7238 - 10.7143 = 0.0095$，相对误差约 0.09%，效果不错！