数值分析与算法设计--显式欧拉法

显式欧拉法

题目

使用显式欧拉法求解初值问题：

$$
\begin{cases}
y’ = f(x, y) = 3x + 2y, \
y(0) = 1, \
0 \le x \le 0.3, \quad h = 0.1
\end{cases}
$$

解答

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显式欧拉公式回顾：

$$
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)
$$
其中：

• $ x_n = x_0 + n h $
• $ y_0 = y(x_0) $ 已知

---

给定参数：

• $ x_0 = 0 $
• $ y_0 = 1 $
• $ h = 0.1 $
• 需计算到 $ x = 0.3 $ ⇒ 共 3 步：$ n = 0,1,2 $

---

逐步计算：

第 0 步：$ n = 0 $

• $ x_0 = 0 $
• $ y_0 = 1 $
• $ f(x_0, y_0) = 3(0) + 2(1) = 2 $
• $ y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0.1 \times 2 = 1 + 0.2 = \boxed{1.2} $
• $ x_1 = 0.1 $

第 1 步：$ n = 1 $

• $ x_1 = 0.1 $
• $ y_1 = 1.2 $
• $ f(x_1, y_1) = 3(0.1) + 2(1.2) = 0.3 + 2.4 = 2.7 $
• $ y_2 = y_1 + h \cdot f = 1.2 + 0.1 \times 2.7 = 1.2 + 0.27 = \boxed{1.47} $
• $ x_2 = 0.2 $

第 2 步：$ n = 2 $

• $ x_2 = 0.2 $
• $ y_2 = 1.47 $
• $ f(x_2, y_2) = 3(0.2) + 2(1.47) = 0.6 + 2.94 = 3.54 $
• $ y_3 = y_2 + h \cdot f = 1.47 + 0.1 \times 3.54 = 1.47 + 0.354 = \boxed{1.824} $
• $ x_3 = 0.3 $

---

结果汇总表：

$ n $	$ x_n $	$ y_n $ (Euler)
0	0.0	1.000
1	0.1	1.200
2	0.2	1.470
3	0.3	1.824

考点总结

考点	说明
显式欧拉公式	$ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) $，单步、显式、一阶精度
局部截断误差	$ O(h^2) $，全局误差 $ O(h) $
稳定性	对刚性方程不稳定；本例 $ \lambda = 2 > 0 $，虽非刚性，但误差仍累积
与隐式欧拉对比	隐式 $ y_{n+1} = y_n + h f(x_{n+1}, y_{n+1}) $，需解方程，但更稳定
改进方法	改进欧拉（Heun）、RK2、RK4 可显著提高精度