数值分析与算法设计--牛顿插值

牛顿插值

题目

已知函数 $ f(x) $ 的部分取值如下表：

$ x_i $	0	1	2	4
$ f(x_i) $	1	3	2	6

1. 构造差商表（一阶、二阶、三阶差商）；
2. 写出以 $ x_0=0 $ 为基点的三次牛顿插值多项式 $ N_3(x) $；
3. 用 $ N_3(x) $ 估计 $ f(1.5) $ 的近似值；
4. （选做/拓展）若已知 $ f(x) = \ln(x+1) + x^2 - x + 1 $，求插值余项 $ R_3(1.5) $ 的理论表达式与上界估计（提示：用余项公式）。

解答

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### 一、构造差商表

已知数据点：

$ i $	$ x_i $	$ f(x_i) $
0	0	1
1	1	3
2	2	2
3	4	6

我们按定义逐阶计算差商（记 $ f[x_i, x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] $ 为 $ k $ 阶差商）。

0 阶差商（即函数值）：

$$
\begin{aligned}
f[x_0] &= f(0) = 1 \
f[x_1] &= f(1) = 3 \
f[x_2] &= f(2) = 2 \
f[x_3] &= f(4) = 6
\end{aligned}
$$

一阶差商：

$$
\begin{aligned}
f[x_0,x_1] &= \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2 \
f[x_1,x_2] &= \frac{2 - 3}{2 - 1} = -1 \
f[x_2,x_3] &= \frac{6 - 2}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2
\end{aligned}
$$

二阶差商：

$$
\begin{aligned}
f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{-1 - 2}{2 - 0} = \frac{-3}{2} = -1.5 \
f[x_1,x_2,x_3] &= \frac{f[x_2,x_3] - f[x_1,x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1
\end{aligned}
$$

三阶差商：

$$
f[x_0,x_1,x_2,x_3] = \frac{f[x_1,x_2,x_3] - f[x_0,x_1,x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1 - (-1.5)}{4 - 0} = \frac{2.5}{4} = \frac{5}{8} = 0.625
$$

差商表整理如下：

$ i $	$ x_i $	$ f[x_i] $	$ f[x_i,x_{i+1}] $	$ f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] $	$ f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] $
0	0	1
			2
1	1	3		−1.5
			−1		0.625
2	2	2		1
			2
3	4	6

考点提醒：

• 差商具有对称性（与节点顺序无关），但表中通常按左对齐递推计算；
• 若等距节点，可联系差分（forward/backward difference），但本题节点不等距（0,1,2,4），必须用差商；
• 差商是牛顿插值系数的核心来源。

写出三次牛顿插值多项式 $ N_3(x) $

牛顿插值公式（以 $ x_0 = 0 $ 为起点）为：

$$
\begin{aligned}
N_3(x) &= f[x_0] \
&\quad + f[x_0,x_1](x - x_0) \
&\quad + f[x_0,x_1,x_2](x - x_0)(x - x_1) \
&\quad + f[x_0,x_1,x_2,x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)
\end{aligned}
$$

代入已算得的差商值：

$$
\begin{aligned}
N_3(x) &= 1 \
&\quad + 2(x - 0) \
&\quad + (-1.5)(x - 0)(x - 1) \
&\quad + 0.625(x - 0)(x - 1)(x - 2)
\end{aligned}
$$

即：

$$
\boxed{
N_3(x) = 1 + 2x - \frac{3}{2}x(x-1) + \frac{5}{8}x(x-1)(x-2)
}
$$

（保留分数形式更精确，避免浮点误差）

考点提醒：

• 牛顿插值是增量式构造，比拉格朗日插值更易增加新节点（只需加一项）；
• 多项式无需展开即可用于计算（推荐用嵌套/Horner 形式，见下文）；
• 注意：插值多项式唯一，牛顿与拉格朗日形式等价，但牛顿形式计算效率更高，尤其适合变节点情形。