数值分析与算法设计--改进欧拉法

改进欧拉法

题目

用 改进欧拉法求解初值问题：

$$
\begin{cases}
y’ = f(x, y) = 3x + 2y \
y(0) = 1 \
0 \le x \le 0.3,\quad h = 0.1
\end{cases}
$$

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解答

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改进欧拉法公式

对每一步 $ n = 0,1,2,\dots $：

1. 预测（显式欧拉一步）：
   $$
   \tilde{y}_{n+1} = y_n + h , f(x_n, y_n)
   $$
2. 校正（梯形公式）：
   $$
   y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \tilde{y}_{n+1}) \right]
   $$

本质：用区间端点的斜率平均值代替单点斜率，提高精度。
精度：二阶方法，全局误差 $ O(h^2) $，比显式欧拉更准。

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已知：

• $ x_0 = 0 $, $ y_0 = 1 $
• $ h = 0.1 $
• $ f(x, y) = 3x + 2y $

我们计算到 $ x = 0.3 $，共 3 步。

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逐步计算：

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▶ 第 0 步：$ n = 0 $, $ x_0 = 0 $, $ y_0 = 1 $

1. 预测：
   $$
   \tilde{y}_1 = y_0 + h f(x_0, y_0) = 1 + 0.1 \cdot (3\cdot0 + 2\cdot1) = 1 + 0.1 \cdot 2 = 1.2
   $$

2. 计算校正所需斜率：

   • $ f(x_0, y_0) = 2 $ （已算）
   • $ f(x_1, \tilde{y}_1) = f(0.1, 1.2) = 3(0.1) + 2(1.2) = 0.3 + 2.4 = 2.7 $

3. 校正：
   $$
   y_1 = y_0 + \frac{h}{2} \left[ f(x_0, y_0) + f(x_1, \tilde{y}_1) \right]
   = 1 + \frac{0.1}{2} (2 + 2.7) = 1 + 0.05 \times 4.7 = 1 + 0.235 = \boxed{1.235}
   $$

→ $ x_1 = 0.1 $, $ y_1 = 1.235 $

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▶ 第 1 步：$ n = 1 $, $ x_1 = 0.1 $, $ y_1 = 1.235 $

1. 预测：
   $$
   \tilde{y}_2 = y_1 + h f(x_1, y_1)
   = 1.235 + 0.1 \cdot \big[ 3(0.1) + 2(1.235) \big]
   = 1.235 + 0.1 \cdot (0.3 + 2.47) = 1.235 + 0.1 \cdot 2.77 = 1.235 + 0.277 = 1.512
   $$

2. 斜率：

   • $ f(x_1, y_1) = 2.77 $ （已算）
   • $ f(x_2, \tilde{y}_2) = f(0.2, 1.512) = 3(0.2) + 2(1.512) = 0.6 + 3.024 = 3.624 $

3. 校正：
   $$
   y_2 = y_1 + \frac{h}{2} \big[ f(x_1, y_1) + f(x_2, \tilde{y}_2) \big]
   = 1.235 + 0.05 \cdot (2.77 + 3.624) = 1.235 + 0.05 \cdot 6.394 = 1.235 + 0.3197 = \boxed{1.5547}
   $$

→ $ x_2 = 0.2 $, $ y_2 = 1.5547 $

（保留4位小数，后续一致）

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▶ 第 2 步：$ n = 2 $, $ x_2 = 0.2 $, $ y_2 = 1.5547 $

1. 预测：
   $$
   \tilde{y}_3 = y_2 + h f(x_2, y_2)
   = 1.5547 + 0.1 \cdot \big[ 3(0.2) + 2(1.5547) \big]
   = 1.5547 + 0.1 \cdot (0.6 + 3.1094) = 1.5547 + 0.1 \cdot 3.7094 = 1.5547 + 0.37094 = 1.92564
   $$

2. 斜率：

   • $ f(x_2, y_2) = 3.7094 $
   • $ f(x_3, \tilde{y}_3) = f(0.3, 1.92564) = 3(0.3) + 2(1.92564) = 0.9 + 3.85128 = 4.75128 $

3. 校正：
   $$
   y_3 = y_2 + \frac{h}{2} \big[ f(x_2, y_2) + f(x_3, \tilde{y}_3) \big]
   = 1.5547 + 0.05 \cdot (3.7094 + 4.75128)
   = 1.5547 + 0.05 \cdot 8.46068 = 1.5547 + 0.423034 = \boxed{1.977734}
   $$

→ $ x_3 = 0.3 $, $ y_3 \approx 1.9777 $

（四舍五入到6位：1.977734）

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✅ 改进欧拉法结果汇总：

$ n $	$ x_n $	预测 $ \tilde{y}_{n+1} $	校正 $ y_{n+1} $
0	0.0	1.2000	1.2350
1	0.1	1.5120	1.5547
2	0.2	1.9256	1.9777

最终近似解：
$$
\boxed{y(0.3) \approx 1.9777}
$$